【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)直线y=﹣x﹣2与该抛物线在第四象限内交于点D,与x轴交于点F,连接AC,CD,线段AC与线段DF交于点G,求证:△AGF≌△CGD;
(3)直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N(点M在点N的左侧),点M关于y轴的对称点为点M′,点H的坐标为(1,0),若四边形NHOM′的面积为,求点H到OM′的距离d.
【答案】(1) y=x2﹣
x﹣3,C(0,-3);(2)见解析;(3)
【解析】
(1)根据抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,可得抛物线的解析式;
(2)根据F(-2,0),A(-1,0),可得AF=1,再根据点D的坐标为(1,-3),点C的坐标为(0,-3),可得CD∥x轴,CD=1,再根据∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,即可判定△AGF≌△CGD;
(3)根据轴对称的性质得出OH=1=M'N,进而判定四边形OM'NH是平行四边形,再根据四边形OM'NH的面积为,求得OP=
,再根据点M的坐标为(
,
),得到PM'=
Rt△OPM'中,运用勾股定理可得OM'=
,最后根据OM'×d=
,即可得到d=
.
(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,
∴,
解得,
∴该抛物线的解析式y=x2﹣
x﹣3.
令x=0,则y=﹣3,
∴C(0,﹣3);
(2)证明:∵直线EF的解析式为y=﹣x﹣2,
∴当y=0时,x=﹣2,
∴F(﹣2,0),OF=2,
∵A(﹣1,0),
∴OA=1,
∴AF=2﹣1=1,
由解得
,
,
∵点D在第四象限,
∴点D的坐标为(1,﹣3),
∵点C的坐标为(0,﹣3),
∴CD∥x轴,CD=1,
∴∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,
在△AGF与△CGD中
∴△AGF≌△CGD(ASA);
(3)∵抛物线的对称轴为x=﹣=
,直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N,
∴点M、N关于直线x=对称,
设N(t,m),则M(1﹣t,m),
∵点 M关于y轴的对称点为点M',
∴M'(t﹣1,m),
∴点M'在直线y=m上,
∴M'N∥x轴,
∴M'N=t﹣(t﹣1)=1,
∵H(1,0),
∴OH=1=M'N,
∴四边形OM'NH是平行四边形,
设直线y=m与y轴交于点P,
∵四边形OM'NH的面积为,
∴OH×OP=1×m=,即m=
,
∴OP=,
当x2﹣
x﹣3=
时,
解得x1=﹣,x2=
,
∴点M的坐标为(﹣,
),
∴M'(,
),即PM'=
,
∴Rt△OPM'中,OM'==
,
∵四边形OM'NH的面积为 ,
∴OM'×d=,
∴d=.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数
的图象相交于第一、三象限内的
,
两点,与
轴交于点
.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出当时,
的取值范围;
(3)在轴上找一点
使
最大,求
的最大值及点
的坐标.
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【题目】已知:正方形绕点
顺时针旋转至正方形
,连接
.
(1)如图,求证:;
(2)如图,延长交
于
,延长
交
于
,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出如图中的四个角,使写出的每一个角的大小都等于旋转角.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB:BC=3:4,点E是对角线BD上一动点(不与点B,D重合),将矩形沿过点E的直线MN折叠,使得点A,B的对应点G,F分别在直线AD与BC上,当△DEF为直角三角形时,CN:BN的值为_____.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3与直线y=x+3交于点A(m,0)和点B(2,n),与y轴交于点C.
(1)求m,n的值及抛物线的解析式;
(2)在图1中,把△AOC平移,始终保持点A的对应点P在抛物线上,点C,O的对应点分别为M,N,连接OP,若点M恰好在直线y=x+3上,求线段OP的长度;
(3)如图2,在抛物线上是否存在点Q(不与点C重合),使△QAB和△ABC的面积相等?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.
(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;
(2)若∠ABC=60°,BD=6,求DE的长.
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【题目】如图,这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画,长为4m,宽为2m.为测量画上世界杯图案的面积,现将宣传画平铺在地上,向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右.由此可估计宣传画上世界杯图案的面积为____.
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【题目】小明家饮水机中原有水的温度为20℃,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系),当加热到100℃时自动停止加热,随后水温开始下降,此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系,当水温降至20C时,饮水机又自动开始加热…,重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)当0≤x≤8时,求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式;
(2)求图中t的值;
(3)若小明上午八点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为20℃后即外出散步,预计上午八点半散步回到家中,回到家时,他能喝到饮水机内不低于30℃的水吗?请说明你的理由.
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【题目】如图,二次函数图象过A,B,C三点,点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC.
(1)求点C的坐标;
(2)求二次函数的解析式.
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