Question

5．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BA边向终点A运动，同时点Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点B运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）当PO=PQ时，请直接写出tan∠AOP的值；
（4）在点P，Q运动的过程中，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2分两种情形当0＜t≤4时，S=$\frac{1}{2}$OQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{10}$t²，当4＜t≤5时点Q在点B处，求出解析式即可；
（3）作PG⊥OB于G．易知∠AOP=∠OPG，在Rt△OPH中，求出tan∠OPH即可解决问题；
（4）存在点N，使得A、P、Q、N为顶点的四边形是矩形．分三种情形讨论①如图3中，当∠APQ=90°时，∠BPQ=∠AOB=90°，根据cos∠PBQ=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BP}{BQ}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{4}{5}$，解方程即可．②当∠PAQ=90°时，不成立，即∠PAQ≠90°③若∠AQP=90°时，当t=0时，点Q与点O重合，此时点N的坐标为（4，3），想办法构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0则y=3，令y=0，则x=4，
∴点A的坐标为（0，3），等B的坐标为（4，0）．

（2）如图1中，作PH⊥x轴于H．由题意OQ=BP=t，OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴sin∠ABO=$\frac{3}{5}$，
 在Rt△PHB中，∠PHB=90°，BP=t，
∴PH=BP•sin∠ABO=$\frac{3}{5}$t，
当0＜t≤4时，S=$\frac{1}{2}$OQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{10}$t²，
当4＜t≤5时，点Q与点B重合，OQ=OB=4，PH=$\frac{3}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•OQ•PH=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{5}$t=$\frac{6}{5}$t，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{10}{t}^{2}}&{（0＜t≤4）}\\{\frac{6}{5}t}&{（4＜t≤5）}\end{array}\right.$．

（3）如图2中，作PG⊥OB于G．
∴∠AOP=∠OPG，
∵PO=PQ，PG⊥OQ，
∴OG=$\frac{1}{2}$t，PG=PB•sin∠ABO=$\frac{3}{5}$t，
∴tan∠OPG=$\frac{OG}{PG}$=$\frac{5}{6}$，
∵∠AOP=∠OPG，
∴tan∠AOP=$\frac{5}{6}$．

（4）存在点N，使得A、P、Q、N为顶点的四边形是矩形．
①如图3中，当∠APQ=90°时，∠BPQ=∠AOB=90°，
∴cos∠PBQ=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BP}{BQ}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{4}{5}$，
解得t=$\frac{16}{9}$，此时点N的坐标为（-$\frac{4}{5}$，$\frac{29}{15}$）；
②当∠PAQ=90°时，
∵∠OAB为锐角，∠PAQ＜∠OAB，
∴不成立，即∠PAQ≠90°；
③若∠AQP=90°时，
当t=0时，点Q与点O重合，此时点N的坐标为（4，3）；
当0＜t≤5时，如图4中，作PM⊥x轴于点M，
由①可知cos∠PBQ=$\frac{4}{5}$，
∴BM=$\frac{4}{5}$t，
∴QM=OB-OQ-BM=4-$\frac{9}{5}$t，
∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°，
易证∠OAQ=∠MQP，
∴△AOQ∽△QMP，
∴$\frac{AO}{QM}$=$\frac{OQ}{PM}$，
∴$\frac{3}{4-\frac{9}{5}t}$=$\frac{t}{\frac{3}{5}t}$，
解得t=$\frac{11}{9}$，此时点N的坐标为（$\frac{9}{5}$，$\frac{56}{15}$），
综上所述，当t的值为0s，$\frac{16}{9}$s，$\frac{11}{9}$s时，以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标分别为（4，3），（-$\frac{4}{5}$，$\frac{29}{15}$），（$\frac{9}{5}$，$\frac{56}{15}$）．

点评 本题考查余弦函数综合题、三角形的面积、矩形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．