Question

20．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，D为对角线OB的中点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象经过点D，且与AB、BC分别交于点E，F，点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接DE，求△BDE的面积；
（3）直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，直线FD的函数值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值．

Answer 1

分析 （1）先根据点D为对角线OB的中点，求出D点坐标，代入反比例函数，即可得出k的值；
（2）先求得点E的坐标，过点D作DH⊥AB于H，进而根据S_△BDE=$\frac{1}{2}$BE×DH进行计算即可；
（3）先求得点F的坐标，再根据D（$\sqrt{3}$，1），即可得出当一次函数值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值时，x的取值范围．

解答 解：（1）∵B（2$\sqrt{3}$，2），点D为对角线OB的中点，
∴D（$\sqrt{3}$，1），
∵点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，
∴k=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的关系式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）设点E的坐标为（2$\sqrt{3}$，m），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，可得m=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
如图，过点D作DH⊥AB于H，则DH=$\frac{1}{2}$AO=$\sqrt{3}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BE×DH=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$；

（3）设点F的坐标为（n，2），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，可得n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
又∵D（$\sqrt{3}$，1），
∴在第一象限内，当一次函数值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值时，x的取值范围为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数交点问题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、三角形的面积等知识，解决问题的关键是掌握：矩形的对角相等且互相平分；解题时注意数形结合思想的运用．