Question

12．佳润商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：

	A	B
进价（万元/套）	1.5	1.2
售价（万元/套）	1.65	1.4

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
（3）在（2）的条件下，该商场所能获得的最大利润是多少万元？

Answer 1

分析 （1）设该商场计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，根据购买两种设备共需66万元且全部销售后可获毛利润9万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设减少A种设备a套，则增加B种设备1.5a套，根据总价=单价×购进数量结合购进两种设备的总资金不超过69万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最大整数即可；
（3）设该商场获得的利润为w万元，根据总利润=单套利润×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，根据一次函数的性质结合a的取值范围即可解决最值问题．

解答 解：（1）设该商场计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{1.5x+1.2y=66}\\{（1.65-1.5）x+（1.4-1.2）y=9}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=30}\end{array}\right.$．
答：该商场计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套．
（2）设减少A种设备a套，则增加B种设备1.5a套，
根据题意得：1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69，
解得：a≤10．
答：A种设备购进数量至多减少10套．
（3）设该商场获得的利润为w万元，
根据题意得：w=（1.65-1.5）（20-a）+（1.4-1.2）（30+1.5a）=0.15a+9．
∵k=0.15＞0，
∴w值随a值的增大而增大，
∴当a=10时，w取最大值，最大值为10.5．
答：在（2）的条件下，该商场所能获得的最大利润是10.5万元．

点评 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的性质以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价=单价×购进数量结合购进两种设备的总资金不超过69万元，找出关于a的一元一次不等式；（3）根据总利润=单套利润×购进数量，找出w关于a的函数关系式．