Question

18．已知正方形ABCD的边长为4，对角线交于点O，F为BC上一点，连接OF、AF，若OF=$\sqrt{5}$，则tan∠BAF的值是$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 过点O作BC的垂线，垂足为E．根据正方形的性质得出OA=OC，∠ABC=90°，又OE∥AB，得出BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2，OE=$\frac{1}{2}$AB=2．在Rt△OEF中利用勾股定理求出EF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{E}^{2}}$=1．再分两种情况讨论：①F在线段BE上；②F在线段CE上，分别求出BF的长，再根据正切函数的定义即可求出tan∠BAF的值．

解答 解：过点O作BC的垂线，垂足为E．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠ABC=90°，
∵OE⊥BC，
∴OE∥AB，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2，OE=$\frac{1}{2}$AB=2．
∵在Rt△OEF中，∠OEB=90°，OF=$\sqrt{5}$，OE=2，
∴EF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{E}^{2}}$=1．
分两种情况讨论：①F在线段BE上时，如图1，此时BF=BE-EF=2-1=1，
在Rt△ABF中，∵AB=4，BF=1，
∴tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{1}{4}$；
②F在线段CE上时，如图2，此时BF=BE+EF=2+1=3，
在Rt△ABF中，∵AB=4，BF=3，
∴tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了解直角三角形，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．