Question

3．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，BC=2$\sqrt{3}$+2，D是BC边上异于B、C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD₁，将△ACD沿AC翻折得到△ACD₂，连接D₁D₂，则四边形D₁BCD₂的面积的最大值是9+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示：过点D₂作D₂E⊥BC，垂足为E．设DC=x，则BD=2$\sqrt{3}+2$-x．然后根据四边形D₁BCD₂的面积等于梯形D₁BED₂的面积减去三角形CED₂的面积列函数关系是求解即可．

解答 解：如图所示：过点D₂作D₂E⊥BC，垂足为E．

设DC=x，则BD=2$\sqrt{3}+2$-x．
由翻折的性质可知：∠D₁BD=90°，∠ECD₂=60°，D₁B=BD=2$\sqrt{3}+2$-x，CD₂=DC=x．
∵在Rt△CED₂中，∠ECD₂=60°
∴EC=$\frac{1}{2}x$，D₂E=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$．
∴${S}_{{D}_{1}BC{D}_{2}}$=${S}_{{D}_{1}BE{D}_{2}}$-${S}_{△CE{D}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$（D₁B+D₂E）•BE-$\frac{1}{2}×CE×E{D}_{2}$
=$\frac{1}{2}×$（2$\sqrt{3}$+2-x+$\frac{\sqrt{3}}{2}x$）（2$\sqrt{3}$+2+$\frac{1}{2}x$）-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x×\frac{\sqrt{3}}{2}x$
=$-\frac{1}{4}$（x-2）²+9+4$\sqrt{3}$．
∴当x=2时，四边形D₁BCD₂的面积有最大值，最大值为9+4$\sqrt{3}$．
故答案为：9+4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、二次函数的综合应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．