Question

如图，用若干长度都是a的线段，顺次连接成一个折线图，折线每个的夹角都是60°．即：A₀A₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=A₆A₇=A₇A₈=A₉A₁₀=A₁₀A₁₁=a，且满足：∠A₀A₁A₂=∠A₁A₂A₃=∠A₂A₃A₄=∠A₃A₄A₅=…=∠A₉A₁₀A₁₁=60°．
（1）仿照题中画出A₁₁A₁₂、A₁₂A₁₃，使A₁₁A₁₂=A₁₂A₁₃=a，且∠A₁₀A₁₁A₁₂=∠A₁₁A₁₂A₁₃=60°；
（2）连接A₀A₃、A₃A₆，设A₀A₃与A₁A₂交于点P，用量角器测量∠A₄PA₂、∠A₄A₃A₆的大小，并直接写出A₀A₃、A₃A₆的大小关系；
（3）连接A₀A₂、A₀A₄和A₀A₆，分别测量出它们的长度的长度（用含有a的式子表示），并归纳A₀A_2n的长度，直接写出A₂₀A_x0的长度；
（4）设m为奇数，连接A_mA₂₀₁₃，若A_mA₂₀₁₃=100，求m的值．

Answer 1

考点：作图—应用与设计作图

专题：规律型

分析：（1）分别以A₁₀、A₉为圆心，以a长为半径作弧，使两弧相交于点A₁₁，再以同样的方法确定点A₁₂，A₁₃；
（2）连接A₀A₂，由等边三角形的性质就可以得出∠A₄PA₂、∠A₄A₃A₆的值，由勾股定理就可以求出A₀A₃、A₃A₆的值；
（3）由等边三角形的性质就可以得出A₀A₂、A₀A₄和A₀A₆的值，就可以得出A₀A_2n的值为na，就有A₂₀A_x0的值为

x0-20

2

a；
（4）根据条件可以建立方程

1

2

（2013-m）a=100，求出其解即可．

解答：解：（1）如图1，①分别以A₁₀、A₉为圆心，以a长为半径作弧，使两弧相交于点A₁₁，
②再以同样的方法确定点A₁₂，A₁₃；
（2）连接A₀A₂，
∵A₀A₁=A₁A₂，∠A₀A₁A₂=60°，
∴△A₀A₁A₂是等边三角形．
∵∠A₀A₁A₂=∠A₁A₂A₃，
∴A₀A₁∥A₂A₃，
∴∠A₁A₀P=∠A₂A₃P．
在△A₁A₀P和△A₂A₃P中，

∠A0A1A2=∠A1A2A3 A0A1=A3A2 ∠A1A0P=∠A2A3P

，
∴△A₁A₀P≌△A₂A₃P（ASA），
∴A₁P=A₂P，A₀P=A₃P．
∴∠A₁PA₀=∠A₃PA₂=90°，
∴∠PA₃A₂=30°，
∴A₂P=

a

2

，A₃P=

3

2

a，
∴A₀A₃=A₃A₆=

3

a．
测量得：测量∠A₄PA₂=40°，∠A₄A₃A₆=30°．
（3）由题意，得
A₀A₂=a，
A₀A₄=2a，
A₀A₆=3a，
…
∴A₀A_2n=na．
∴A₂₀A_x0=

x0-20

2

a；
（4）由题意，得

1

2

（2013-m）a=100，
解得：m=

2013a-200

a

．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，作图的运用，解答时运用等边三角形的性质是关键．