【题目】已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α.
(1)当α=40°时,∠BPC= °,∠BQC= °;
(2)当α= °时,BM∥CN;
(3)如图②,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;
(4)在α>60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系: .
【答案】(1)70, 125;(2)60;(3)45°;(4)∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°.
【解析】
(1)根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE,再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP,最后根据三角形内角和定理即可求解;根据角平分线的定义得出∠QBC=∠PBC,∠QCB=∠PCB,求出∠QBC+∠QCB的度数,根据三角形内角和定理求出即可;
(2)根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°,依此求解即可;
(3)根据题意得到∠MBC+∠NCB,再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数;
(4)分别用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC,再相加即可求解.
解:(1)∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°,
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,
∴∠CBP+∠BCP=(∠DBC+∠BCE)=110°,
∴∠BPC=180°﹣110°=70°,
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,
∴∠QBC=∠PBC,∠QCB=∠PCB,
∴∠QBC+∠QCB=55°,
∴∠BQC=180°﹣55°=125°;
(2)∵BM∥CN,
∴∠MBC+∠NCB=180°,
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α,
∴(∠DBC+∠BCE)=180°,
即(180°+α)=180°,
解得α=60°;
(3)∵α=120°,
∴∠MBC+∠NCB=(∠DBC+∠BCE)=(180°+α)=225°,
∴∠BOC=225°﹣180°=45°;
(4)∵α>60°,
∠BPC=90°﹣α
∠BQC=135°﹣α
∠BOC=α﹣45°.
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:∠BPC+∠BQC+∠BOC=(90°﹣α)+(135°﹣α)+(α﹣45°)=180°.
故答案为:70,125;60;∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°.
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【题目】(1)计算:
(2)如图,在矩形 ABCD 中,AE 平分∠BAD,交 BC 于点 E,过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,求证:四边形ABEF 是正方形.
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【题目】在学校组织的科学素养竞赛中,每班参加比赛的人数相同,成绩分为A,B,C,D四个等级,其中相应等级的得分依次记为90分,80分,70分,60分,学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图:
请你根据以上提供的信息解答下列问题
(1)此次竞赛中二班成绩在70分以上(包括70分)的人数为___;
(2)请你将表格补充完整:
(3)请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析,写出两个结论.
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【题目】列方程,解应用题
甲乙两人相约周末到影院看电影,他们的家分别距离影院1200米和2000米,两人分别从家中同时出发,已知甲和乙的速度比是,结果甲比乙提前4分钟到达影院.
(1)求甲、乙两人的速度?
(2)在看电影时,甲突然接到家长电话让其15分钟内赶回家,时间紧迫改变速度,比来时每分钟多走25米,甲是否能按要求时间到家?
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【题目】某校八年级共有三个班,都参加了学校举行的书法绘画大赛,三个班根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛(满分100分),如下表所示:
解答下列问题:
(1)请填写下表:
(2)请从以下两个不同的角度对三个班级的决赛成绩进行
①从平均数和众数相结合看(分析哪个班级成绩好);
②从平均数和中位数相结合看(分析哪个班级成绩好);
(3)如果在每个班级参加决赛的选手中选出3人参加总决赛,你认为哪个班级的实力更强一些,请简要说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,给出如下定义:已知两个函数,如果对于任意的自变量x,这两个函数对应的函数值记为y1、y2,都有点(x,y1)和(x,y2)关于点(x,x)中心对称(包括三个点重合时),由于对称中心都在直线y=x上,所以称这两个函数为关于直线y=x的特别对称函数.例如:y=x和y=为关于直线y=x的特别对称函数.
(1)若y=3x+2和y=kx+t(k≠0)为关于直线y=x的特别对称函数,点M(1,m)是y=3x+2上一点.
①点M(1,m)关于点(1,1)中心对称的点坐标为 .
②求k、t的值.
(2)若y=3x+n和它的特别对称函数的图象与y轴围成的三角形面积为2,求n的值.
(3)若二次函数y=ax2+bx+c和y=x2+d为关于直线y=x的特别对称函数.
①直接写出a、b的值.
②已知点P(﹣3,1)、点Q(2,1),连结PQ,直接写出y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x轴上,点B1,B2,B3…都在直线y=x上,OA1=1,且△B1A1A2,△B2A2A3,△B3A3A4,…△Bn A n A n+1…分别是以A1,A2,A3,…An…为直角顶点的等腰直角三角形,则△B10A10A11的面积是________.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:△DAE≌△CFE;
(2)若AB=BC+AD,求证:BE⊥AF.
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