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【题目】已知如图BPCP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQCQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BMCN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BACα

1)当α40°时,∠BPC   °,∠BQC   °;

2)当α   °时,BMCN

3)如图,当α120°时,BMCN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;

4)在α60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:   

【答案】170 125;(260;(345°;(4)∠BPC+BQC+BOC180°.

【解析】

1)根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE,再根据角平分线的性质可求得∠CBP+BCP,最后根据三角形内角和定理即可求解;根据角平分线的定义得出∠QBCPBC,∠QCBPCB,求出∠QBC+QCB的度数,根据三角形内角和定理求出即可;

2)根据平行线的性质得到∠MBC+NCB180°,依此求解即可;

3)根据题意得到∠MBC+NCB,再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数;

4)分别用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC,再相加即可求解.

解:(1)∵∠DBC=∠A+ACB,∠BCE=∠A+ABC

∴∠DBC+BCE180°+A220°,

BPCP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,

∴∠CBP+BCP(∠DBC+BCE)=110°,

∴∠BPC180°﹣110°=70°,

BQCQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,

∴∠QBCPBC,∠QCBPCB

∴∠QBC+QCB55°,

∴∠BQC180°﹣55°=125°;

2)∵BMCN

∴∠MBC+NCB180°,

BMCN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BACα

(∠DBC+BCE)=180°,

180°)=180°,

解得α60°;

3)∵α120°,

∴∠MBC+NCB(∠DBC+BCE)=180°)=225°,

∴∠BOC225°﹣180°=45°;

4)∵α60°,

BPC90°﹣α

BQC135°﹣α

BOCα45°.

BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:∠BPC+BQC+BOC=(90°﹣α+135°﹣α+α45°)=180°.

故答案为:7012560;∠BPC+BQC+BOC180°.

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②求k、t的值.

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