Question

10．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
（1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF和EF的长．

Answer 1

分析 （1）证得DE=DF，得四边形BFDE是平行四边形，根据折叠的性质知：BF=DF，得四边形BFDE是菱形；
（2）在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得DF的长；连接BD，得BD=8$\sqrt{5}$cm，利用S_菱形BFDE=$\frac{1}{2}$EF•BD，易得EF的长．

解答 解：（1）由折叠的性质可得∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
由折叠知，BF=DF．
∴四边形BFDE是菱形；
（3）在Rt△DCF中，设DF=x，则BF=x，CF=16-x，
由勾股定理得：x²=（16-x）²+8²，
解得x=10，
DF=10cm，
连接BD．
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∵S_菱形BFDE=$\frac{1}{2}$EF•BD=BF•DC，
∴$\frac{1}{2}$EF×8$\sqrt{5}$=10×8
解得EF=4$\sqrt{5}$cm．

点评 本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定和性质，解题的关键是作好辅助线找到相关的三角形．