Question

如图，已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=

k1

x

的图象上，其中m，n是一元二次方程
x²-2ax+a²-1=0的两根
（1）写出m与n的数量关系

m=2n

；并求出a的值；
（2）设直线AB与x轴交于点C，AD⊥x轴于D点，E点与C点关于直线AD对称，连接EB交AD于P点，求AP的长度．

Answer 1

分析：（1）将点A（1，m），B（2，n）代入反比例函数y=

k1

x

得，m=k₁，n=

k1

2

，即可求出m、n的关系式，再根据m，n是一元二次方程x²-2ax+a²-1=0的两根，求出m、n与a的关系式，列方程组求出a的值；进而求出m、n的值及a的值．
（2）由（1）计算可知，点A（1，4），B（2，2），据此求出反比例函数解析式和一次函数的解析式，根据一次函数解析式求出C点坐标，再根据对称性求出E点坐标，进而得到一次函数EB的解析式，再求出P点坐标，从而得到AP的长度．

解答：解：（1）将点A（1，m），B（2，n）代入反比例函数y=

k1

x

得，
m=k₁，n=

k1

2

，
即m=2n，
又∵m，n是一元二次方程x²-2ax+a²-1=0的两根，
∴m+n=2a，mn=a²-1，
组成方程组得

m=2n m+n=2a mn=a2-1

，
解得a=±3．
当a=-3时，原方程可化为x²+6x+8=0，此时，m+n=-6，与图中所示m、n均为正数数矛盾，故a=3．
此时

m=2n mn=8

，解得2n²=8，n=±2；由于n为正数，故n=2，此时，m=4．
（2）由（1）计算可知，点A（1，4），B（2，2），反比例函数解析式为y=

4

x

．
设AB的解析式为y=kx+b，把A（1，4），B（2，2）分别代入解析式得

k+b=4 2k+b=2

，
解得

k=-2 b=6

，
函数解析式为y=-2x+6．
当y=0时，-2x+6=0，x=3，即C点坐标为（3，0）．由于E点与C点关于直线AD对称，D点坐标为（1，0），
则E点坐标为（-1，0）．
设EB的解析式为y=cx+t，把E（-1，0）、B（2，2）分别代入解析式得

-c+t=0 2c+t=2

，
解得

c= 2 3 t= 2 3

，函数解析式为y=

2

3

x+

2

3

．
当x=1时，y=

4

3

，即P点坐标为（1，

4

3

），AP=4-

4

3

=

8

3

．

点评：本题考查了与反比例函数相关的问题以及待定系数法求一次函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、坐标与函数图象的关系等，综合性较强，要认真对待．