Question

6．已知直线l₁：y=-3x+3交x轴于点A、交y轴于点B，将直线绕点B逆时针转45°，得到的直线为l₂，求l₂的解忻式．

Answer 1

分析 根据旋转的性质，可得AB与A′B的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得BC，A′C的长，根据等腰三角形的性质，可得AD即为所求的直线，根据中点坐标公式，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案．

解答 解：如图，作BD⊥AA′于D．
，
当x=0时，y=3即B（0，3），
当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，即A（1，0）；
将l₁绕B点逆时针旋转90°，则A点与A′对应，
作A′C⊥y轴与C点，
在△AOB和△BCA′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠BCA′}\\{∠AOB=∠BCA′}\\{AB=A′B}\end{array}\right.$，
△AOB≌△BCA′（AAS），
BC=AO=1，A′C=OB=3，
OC=1+3=4，
即A′（3，4）．
∠ABD=∠A′BD=45°，
AD=A′D，
D（2，2）．
设BD的解析式为y=kx+b，
将B，D点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
即l₂的解析式y=-$\frac{1}{2}$x+3，．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换，利用旋转直线绕B点旋转90°得出A的对应点A′的坐标是解题关键，又利用了中点坐标公式得出D点坐标，待定系数法求函数解析式．