Question

8．我们可以定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

问题探究
（1）如图①已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，试在△ABC内或边上确定一点P，使△BCP为等腰三角形．
（2）如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M、N分别在AD、CD上，且∠MBN=60°，试判断四边形DMBN是否为“等邻边四边形”？并说明理由．
尝试应用
（3）现有一个矩形材料ABCD，工程人员需要将其制作成一个“等邻边四边形”面板，如图③，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6.5，点E在BC上，且BE=3，在矩形ABCD内或者边上，确定一点P，使四边形ABEP为面积最大的“等邻边四边形”，若能实现，请求出最大面积，若不能实现，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图①中，①以B为圆心，BC为半径画弧交AB于P，此时△PBC是等腰三角形．②以C为圆心，BC为半径画弧交AC于P′，此时△P′BC是等腰三角形．③作线段BC的垂直平分线垂足为F，交AB于E．线段EF上点，都满足条件；
（2）如图②中，结论：四边形DMBN是“等邻边四边形“．只要证明△MBD≌△NBC即可解决问题；
（3）能实现．分两种情形讨论求解即可；

解答 解：（1）如图①中，

①以B为圆心，BC为半径画弧交AB于P，此时△PBC是等腰三角形．
②以C为圆心，BC为半径画弧交AC于P′，此时△P′BC是等腰三角形．
③作线段BC的垂直平分线垂足为F，交AB于E．线段EF上点，都满足条件．

（2）结论：四边形DMBN是“等邻边四边形“．
理由：如图②中，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=CD=AD，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
∴BD=DC，∠MDB=∠C=60°，
∵∠MBN=∠DBC=60°，
∴∠MBD=∠NBC，
∴△MBD≌△NBC，
∴MB=BN，
∴四边形DMBN是“等邻边四边形“．

（3）能实现．
理由：如图③中，

①以A为圆心，AB为半径画弧，当点P在$\widehat{PI}$（不包括点I）上时，四边形ABEP是“等邻边四边形“，点P在AD上时，四边形ABEP的面积的最大值为$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×4=14．
②以E为圆心，EB为半径画弧，当点P在$\widehat{HT}$（不包括点H和点T）上时，四边形ABEP是“等邻边四边形“，P′E⊥AE，AE=5，P′E=3
四边形ABEP的面积的最大值为$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×5×3=13.5，
综上所述，等邻边四边形ABEP的面积的最大值为14．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等邻边四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．