Question

【题目】如图，在ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点，连结AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连结EF．

（1）若DG＝8，求对角线AC的长；

（2）求证：AF+FG＝EF．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）详见解析．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到∠ADC＝∠B＝45°，推出△CDE是等腰直角三角形，得到CE＝DE，∠DEC＝∠AEC＝90°，求得∠EDG＝∠ECA，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）过E作EH⊥EF交DF于H，于是得到∠DEH＝∠CEF，根据全等三角形的性质得到EF＝EH，DH＝CF，求得AF＝HG，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解：（1）∵在ABCD中，∠B＝45°，

∴∠ADC＝∠B＝45°，

∵CE⊥AD，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE＝DE，∠DEC＝∠AEC＝90°，

∵DF⊥AC，

∴∠CFD＝∠DEC＝90°，

∴∠DGE＝∠CGF，

∴∠EDG＝∠ECA，

在△DEG≌△CEA中，

，

∴△DEG≌△CEA（ASA），

∴AC＝DG＝8；

（2）过E作EH⊥EF交DF于H，

∵∠FEH＝∠DEC＝90°，

∴∠DEH＝∠CEF，

∵∠EDH＝∠ECF，DE＝CE，

在△DEH和△CEF中，

，

∴△DEH≌△CEF（ASA），

∴EF＝EH，DH＝CF，

∴AC﹣CF＝DG﹣DH，

即AF＝HG，

∵FH＝FG+GH＝EF，

∴AF+FG＝EF．