Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD＝90°，且AB＝1，

BC＝2，tan ∠ADC＝2．

（1）求证：DC＝BC；

（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，当BE:CE＝1:2，∠BEC＝135°时，求sin ∠BFE的值．

 

Answer 1

（1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M，

则AM=BC=2． 又tan∠ADC=2，∴DM==1，即DC=BC；  （2分）
（2）等腰三角形．
因为DE=BF，∠EDC=∠FBC，DC=BC， ∴△DEC≌△BFC，   （3分）
∴CE=CF，∠ECD=∠FCB， 
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF是等腰直角三角形；  （5分） 
（3）设BE=k，则CE=CF=2k，∴EF=2k，
∵∠BEC=135°，又∠CEF=45°， ∴∠BEF=90°，（7分）
所以BF==3k，
所以sin∠BFE==．（8分）