Question

如图，已知抛物线y₁=-x²+bx+c经过A（1，0），B（0，-2）两点，顶点为D．
（1）求抛物线y₁的解析式；
（2）将△AOB绕点A顺时针旋转90°后，得到△AO′B′，将抛物线y₁沿对称轴平移后经过点B′，求出平移后所得的抛物线y₂ 的解析式．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）直接把A和B点坐标代入y₁=-x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
（2）根据旋转的性质得到B′点的坐标为（-1，1），再根据二次函数的性质，由于抛物线y₁沿对称轴平移后经过点B′，则二次项系数与一次项系数不变，则平移后抛物线y₂ 的解析式可设为y₂=-x²+3x+m，然后把B′点坐标代入求出m即可．

解答：解：（1）根据题意得

-1+b+c=0 c=-2

，解得

b=3 c=-2

，
所以抛物线y₁的解析式为y₁=-x²+3x-2；
（2）∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后，得到△AO′B′，如图，
∴B′点的坐标为（-1，1），
∵抛物线y₁沿对称轴平移后经过点B′，
∴平移后抛物线y₂ 的解析式可设为y₂=-x²+3x+m，
把B′（-1，1）代入得-1-3+m=1，解得m=5，
∴平移后抛物线y₂ 的解析式为y₂=-x²+3x+5．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．