【题目】已知方程x2+2(m﹣2)x+m2+4=0有两个实数根,且两个根的平方和比两根的积大40,求m的值.
【答案】解:设方程x2+2(m﹣2)x+m2+4=0的两个实数根分别为x1、x2 , 则x1+x2=﹣2(m﹣2),x1x2=m2+4,
∵ +
﹣x1x2=
﹣3x1x2=40,
∴[﹣2(m﹣2)]2﹣3(m2+4)=40,
整理,得:m2﹣16m﹣36=0,
解得:m1=﹣2,m2=18.
∵方程x2+2(m﹣2)x+m2+4=0有两个实数根,
∴△=[﹣2(m﹣2)]2﹣4(m2+4)=﹣16m≥0,
∴m≤0,
∴m的值为﹣2
【解析】设方程x2+2(m﹣2)x+m2+4=0的两个实数根分别为x1、x2 , 由根与系数的关系可知x1+x2=﹣2(m﹣2),x1x2=m2+4,结合两个根的平方和比两根的积大40即可得出关于m的一元二次方程,解方程求出m的值,再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式,解不等式即可得出m的取值范围,由此即可确定m的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识,掌握根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根,以及对根与系数的关系的理解,了解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定;两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
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【题目】图中,EB为半圆O的直径,点A在EB的延长线上,AD切半圆O于点D,BC⊥AD于点C,AB=2,半圆O的半径为2,则BC的长为( )
A.2
B.1
C.1.5
D.0.5
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【题目】如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在D′处.
(1)求证:△AFD′≌△CFB;
(2)求线段BF的长度;
(3)试求出重叠部分△AFC的面积.
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【题目】我们知道:任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.由此可得:如果ax+b=0,其中a、b为有理数,x为无理数,那么a=0且b=0.
运用上述知识,解决下列问题:
(1)如果(a-2)+b+3=0,其中a、b为有理数,那么a= ,b= ;
(2)如果(2+)a-(1-
)b=5,其中a、b为有理数,求a+2b的值.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,对称轴是直线x=1.
①b2>4ac;
②4a+2b+c<0;
③不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5;
④若(﹣2,y1),(5,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2 .
上述4个判断中,正确的是( )
A.①②
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0, ),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A,B两点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位.
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【题目】如图,点O是等边三角形ABC内的一点,∠AOB=130°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC,连接OD.
(1)判断△COD的形状,并加以说明理由.
(2)若AD=1,OC=,OA=
时,求α的度数.
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
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