Question

16．如图，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于D点，若CD=1，BC=3，弦心距OE=$\frac{2}{3}$，求⊙O的半径OB的长．

Answer 1

分析 根据圆周角定理可得出∠C=∠AOE，△AOE∽△BCD，即可得出⊙O的半径OB的长．

解答 解：∵OE⊥AB，
∴∠OEA=90°，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠AOE=∠ACB，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴△BCD∽AOE，
∴$\frac{CD}{OE}$=$\frac{OA}{BC}$，
∵CD=1，BC=3，OE=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{OA}$，
解得OA=2，
∴OA=OB=2，
∴⊙O的半径OB的长2．

点评 本题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，还考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．