Question

1．已知矩形ABCD的边BC=2AB，E是BC中点，F在DC上，∠FAC=∠EAC．求DF：DC的比值．

Answer 1

分析 作EM⊥AC于M，作FN⊥AC于N，设EM=a，FN=b，先求出CM=2a，CE=BE=AB=$\sqrt{5}$a，再根据勾股定理求出AC=5a，然后求出FN=2b，CF=$\sqrt{5}$b，由∠FAC=∠EAC，得出tan∠FAC=$\frac{DN}{AN}$=tan∠EAC，得出$\frac{2b}{5a-b}$=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{5}{7}$a，求出CF、DF，即可求出DF：DC的值．

解答 解：作EM⊥AC于M，作FN⊥AC于N，如图所示：
则∠AME=∠CME=90°，∠ANF=∠CNF=90°，
设EM=a，CN=b，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∵BC=2AB，
∴tan∠ACB=$\frac{EM}{CM}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴CM=2EM=2a，
∴CE=$\sqrt{5}$a，
∵E是BC的中点，
∴AB=BE=CE=$\sqrt{5}$a，
∴AC=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$a=5a，
∴AM=3a，
∵cot∠FCN=$\frac{CN}{FN}$=tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴FN=2b，
∴CF=$\sqrt{5}$b，
∵∠FAC=∠EAC，
∴tan∠FAC=$\frac{FN}{AN}$=tan∠EAC=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2b}{5a-b}$=$\frac{1}{3}$，
∴b=$\frac{5}{7}$a，
∴CF=$\frac{5\sqrt{5}a}{7}$，
∴DF=CD-CF=$\sqrt{5}$a-$\frac{5\sqrt{5}a}{7}$=$\frac{2\sqrt{5}a}{7}$，
∴DF：DC=$\frac{2\sqrt{5}a}{7}$：$\sqrt{5}$a=$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识；本题难度较大，需要通过作辅助线设出未知数才能得出结果．