Question

13．如图，⊙O的半径OA=2，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由OA=OB得到∠OAB=∠OBA，加上∠BAC=∠OAB，则∠BAC=∠OBA，于是可判断OB∥AC，由于AC⊥EF，所以OB⊥EF，则可根据切线的判定定理得到EF是⊙O的切线；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得AD=$\frac{1}{2}$AB，再证明Rt△AOD∽Rt△ABC，利用相似比可计算出AB=2；
（3）由AB=OB=OC=2可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，则∠ABC=30°，则可计算出BC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_{四边形AOBC}-S_扇形OAB=S_△AOB+S_△ABC-S_扇形OAB进行计算即可．

解答 （1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAC=∠OAB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴OB∥AC，
∵AC⊥EF，
∴OB⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽Rt△ABC，
$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{\frac{1}{2}AB}{1}$=$\frac{2}{AB}$，
∴AB=2；
（3）解：∵AB=OB=OC=2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OB⊥BC，
∴∠ABC=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影部分=S_{四边形AOBC}-S_扇形OAB
=S_△AOB+S_△ABC-S_扇形OAB
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²+$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$
=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．