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【题目】如图,已知抛物线my=ax2﹣6ax+ca0)的顶点Ax轴上,并过点B01),直线ny=﹣x+x轴交于点D,与抛物线m的对称轴l交于点F,过B点的直线BE与直线n相交于点E﹣77).

1)求抛物线m的解析式;

2Pl上的一个动点,若以BEP为顶点的三角形的周长最小,求点P的坐标;

3)抛物线m上是否存在一动点Q,使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1y=x2x+1;(2)点P坐标为(3);(3)点Q坐标为(94)或(1516).

【解析】试题分析:(1)抛物线顶点在x轴上则可得出顶点纵坐标为0,将解析式进行配方就可以求出a的值,继而得出函数解析式;(2)作出B点关于l的对称点B′,连接EB′l于点P,如图所示,,三角形BEP为顶点的三角形的周长最小,再求出直线B′E的解析式,进而得出P点坐标;(3)先求出直线FD的解析式,结合以线段FQ为直径的圆恰好经过点D这个条件,明确∠FDG=90°,得出直线DG解析式的k值与直线FD解析式的k值乘积为﹣1,利用D点坐标求出直线DG解析式,将点Q坐标用抛物线解析式表示后代入DG直线解析式可求出点Q坐标.

试题解析:(1抛物线y=ax2﹣6ax+ca0)的顶点Ax轴上

配方得y=ax﹣32﹣9a+1,则有﹣9a+1=0,解得a=

∴A点坐标为(30),抛物线m的解析式为y=x2x+1

2B关于对称轴直线x=3的对称点B′为(61

连接EB′l于点P,如图所示

设直线EB′的解析式为y=kx+b,把(﹣77)(61)代入得

解得

则函数解析式为y=﹣x+

x=3代入解得y=

P坐标为(3);

3∵y=﹣x+x轴交于点D

D坐标为(70),

∵y=﹣x+与抛物线m的对称轴l交于点F

F坐标为(32),

求得FD的直线解析式为y=﹣x+,若以FQ为直径的圆经过点D,可得∠FDQ=90°,则DQ的直线解析式的k值为2

DQ的直线解析式为y=2x+b,把(70)代入解得b=﹣14,则DQ的直线解析式为y=2x﹣14

设点Q的坐标为(a),把点Q代入y=2x﹣14

=2a﹣14

解得a1=9a2=15

Q坐标为(94)或(1516).

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