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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（-3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
    （3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

    解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4经过A（-3，0），B（4，0）两点，
    ∴，解得，
    ∴所求抛物线的解析式为：y=-x2+x+4；

    （2）如图1，依题意知AP=t，连接DQ，
    ∵A（-3，0），B（4，0），C（0，4），
    ∴AC=5，BC=4，AB=7．
    ∵BD=BC，
    ∴AD=AB-BD=7-4，
    ∵CD垂直平分PQ，
    ∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．
    ∵BD=BC，
    ∴∠DCB=∠CDB．
    ∴∠CDQ=∠DCB．
    ∴DQ∥BC．
    ∴△ADQ∽△ABC．
    ∴=，
    ∴=，
    ∴=，
    解得DP=4-，
    ∴AP=AD+DP=．
    ∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为；


    （3）如图2，设抛物线y=-x2+x+4的对称轴x=与x轴交于点E．点A、B关于对称轴x=对称，连接BQ交该对称轴于点M．
    则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，
    ∵当BQ⊥AC时，BQ最小，此时，∠EBM=∠ACO，
    ∴tan∠EBM=tan∠ACO=，
    ∴=，
    ∴=，解ME=．
    ∴M（，），即在抛物线y=-x2+x+4的对称轴上存在一点M（，），使得MQ+MA的值最小．
    分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+4经过A（-3，0），B（4，0）两点利用待定系数法可求出a、b、c的值，进而得出抛物线的解析式；
    （2）由A、B、C三点的坐标求出AC、BC及AB的值，由相似三角形的判定定理得出△ADQ∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例可求出DP的值，进而可得出AP（即t）的值；
    （3）设抛物线y=-x2+x+4的对称轴x=与x轴交于点E．点A、B关于对称轴x=对称，连接BQ交该对称轴于点M．则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，由于当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM=∠ACO，再由tan∠EBM=tan∠ACO=可求出ME的值，进而得出M点的坐标．
    点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度较大．
    练习册系列答案
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    4
    9
    (x-2)2    +c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=
    2
    		5
    5
    ．
    （1）求此抛物线的函数表达式；
    （2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若
    HE
    HF
    =
    1
    2
    时，求点P的坐标；
    （3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的精英家教网直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交精英家教网点B在A点的右侧；交y轴于（0，-3）．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）设抛物线的顶点为C，抛物线上一点D的坐标为（-3，12），在x轴上是否存在一点P，使以点P、B、C为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM=6cm，∠OMN=30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S（cm2）．
    （1）求等边△ABC的边长；
    （2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•卢湾区一模）如图，已知在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，对称轴l与x轴相交于点C，顶点为点D，且∠ADC的正切值为
    12
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    （2）求抛物线的表达式；
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    （2）你认为OA的长度是否会发生变化？若变化，那么OA最长是多少？OA最长时四边形OBAC是怎样的四边形？并说明理由；
    （3）填空：当OA最长时A的坐标（
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    		2
    ，
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    ），直线OA的解析式
    y=x
    y=x
    ．

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