Question

在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．

（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；

（2）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；21世纪教育网

（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，分别表示出此时点E′、D′、F′的坐标（直接写出结果即可）．www-2-1-cnjy-com

Answer 1

解：（1）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．

∵点A（﹣2，0）点B（0，2），

∴OA=OB=2．

∵点E，点F分别为OA，OB的中点，

∴OE=OF=1

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，

∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．

在Rt△AE′O中，

AE′=．

在Rt△BOF′中，

BF′=．

∴AE′，BF′的长都等于． ———————————————4分

（2）当α=135°时，如图②．

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，

∴∠AOE′=∠BOF′=135°．

在△AOE′和△BOF′中，

，

∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．

∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴∠CPB=∠AOC=90°

∴AE′⊥BF′．——————————————————————9分

（3）点E′（2，0）、D′（2，-2）、F′（0，-2）……12分