Question

【题目】阅读下列材料:

问题：如图1，在平行四边形ABCD中,E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G.使得∠EGB=∠EAB,连接AG.

求证:EG=AG+BG.

小明同学的思路是:作∠CAM=∠EAB交CE于点H，构造全等三角形，经过推理解决问题.

参考小明同学的思路，探究并解决下列问题:

(1)完成上面问题中的证明；

(2)如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变(如图2),请探究线段EC、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论.

解:线段EG、AG、BG之间的数量关系为___________________________________________________.证明:

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）EG+BG=AG，证明详见解析.

【解析】

（1）作∠GAH=∠EAB交GE于点H,证△ABG≌OAEH，再证ΔACH是等边三角形，得AG=HG ，EG=AG+BG；（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB=∠HAE，证ΔABG≌ΔAEH，得BG=EH,AG=AH，再证ΔAGH是等腰直角三角形，可得AG=HG.故EG+BG=AG.

(1)证明:如图1,作∠GAH=∠EAB交GE于点H,

则∠GAB=∠HAE.

∵∠EAB=∠EGB,∠AOE=∠BOF,

∴∠ABG=∠AEH

在ΔABG和ΔAEH中

所以△ABG≌OAEH

∴BG=EH,AG=AH

∵∠GAH=∠EAB=60°

∴ΔACH是等边三角形

∴AG=HG.

∴EG=AG+BG

(2)EG+BG=AG

证明：

如图2，作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB=∠HAE

∵∠EGB=∠EAB=90°

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°

∴∠ABG=∠AEH.

在ΔABG和ΔAEH中

∴ΔABG≌ΔAEH

∴BG=EH,AG=AH

∵∠GAH=∠EAB=90°

ΔAGH是等腰直角三角形

∴AG=HG

∴EG+BG=AG