Question

3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连接PO，PA，若∠POA=m°，∠PAO=n°，则我们把（m°，n°）叫做点P 的“双角坐标”．例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．
（1）点（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的“双角坐标”为（60°，60°）；
（2）若点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}$，则m+n的最小值为90．

Answer 1

分析 （1）分别求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度数，从而得出答案；
（2）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，则∠OPA需取得最大值，OA中点为圆心，$\frac{1}{2}$为半径画圆，与直线y=$\frac{1}{2}$相切于点P，由∠OPA=∠1＞∠OP′A知此时∠OPA最大，∠OPA=90°，即可得出答案．

解答 解：（1）∵P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），OA=1，
∴tan∠POA=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，tan∠PAO=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠POA=60°，∠PAO=60°，
即点P的“双角坐标”为（60°，60°），
故答案为：（60°，60°）；

（2）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，
则∠OPA需取得最大值，
如图，

∵点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}$，OA=1，
∴OA中点为圆心，$\frac{1}{2}$为半径画圆，与直线y=$\frac{1}{2}$相切于点P，
在直线y=$\frac{1}{2}$上任取一点P′，连接P′O、P′A，P′O交圆于点Q，
∵∠OPA=∠1＞∠OP′A，
此时∠OPA最大，∠OPA=90°，
∴m+n的最小值为90，
故答案为：90．

点评 本题主要考查坐标与图形的性质、锐角的三角函数、三角形的内角和定理、外角的性质及圆周角定理，根据内角和定理推出m+n取得最小值即为∠OPA取得最大值，且找到满足条件的点P位置是关键．