Question

9．已知一次函数y=-2x+4与x轴、y轴交于点A，B．
（1）分别求出点A，B两点的坐标．
（2）以AB为边作等腰直角三角形ABP，若点P在第一象限，请求出点P的坐标．
（3）在（2）的结论下，过点P作直线AB的平行线，分别交x轴、y轴于点D和点C，请求出四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求得y即可求得与y轴的交点；令y=0，求得x即可求得与x轴的交点；
（2）分成B是直角顶点，A是直角顶点以及P是直角顶点，利用全等三角形的性质以及相似三角形的性质即可求解；
（3）利用待定系数法求得直线CD的解析式，则C和D的坐标即可求得，然后根据S_{四边形ABCD}=S_△OCD-S_△OAB求解．

解答 解：（1）在y=-2x+4中，令x=0，则y=4，则B的坐标是（0，4）．
令y=0，则-2x+4=0，解得：x=2，则A的坐标是（2，0）；
（2）当B是等腰△ABP的直角顶点时，如图1，作PM⊥y轴于点M．
∵∠PBA=90°，
∴∠PBM+∠ABO=90°，
又∵直角△BPM中，∠PBM+∠MPB=90°，
∴∠MPB=∠ABO，
在直角△BPM和直角△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPB=∠ABP}\\{∠AOB=∠BMP}\\{AB=PB}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△ABO，
∴PM=OB=4，OA=BM=2．
∴OC=4+2，
∴P的坐标是（4，6）；
当A是等腰△ABP的直角顶点时，如图2．
作PN⊥x轴于点N．同理可得△ABO≌△PAN，
∴PN=OA=2，AN=OB=4，
∴P的坐标是（6，2）．
当P是直角三角形的直角顶点时，如图3．
作PF⊥y轴，交AB于点G，作PE⊥AB于点E，则PF∥x轴．
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
PE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$．
∵PF∥x轴，
∴∠PGE=∠OAB，
又∵∠PEG=∠AOB，
∴△OAB∽△EGP，
∴$\frac{PE}{OB}$=$\frac{PG}{AB}$=$\frac{EG}{OA}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{4}$=$\frac{PG}{2\sqrt{5}}$=$\frac{EG}{2}$，
解得：PG=$\frac{5}{2}$，EG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴BG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵PF∥x轴，
∴△BFG∽△BOA，
∴$\frac{BF}{OB}$=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{FG}{OA}$，即$\frac{BF}{4}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{GF}{2}$，
∴BF=1，GF=$\frac{1}{2}$，
∴OF=4-1=3，PF=PG+FG=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$=3，
∴P的坐标是（3，3）；
（3）当如图1时，设经过P与AB平行的直线的解析式是y=-2x+b，则-4+b=6，
解得：b=10．
则直线的解析式是y=-2x+10．
令x=0，解得y=10；令y=0，解得x=5，则D的坐标是（0，10），C的坐标是（5，0）．
则S_{四边形ABCD}=S_△OCD-S_△OAB=$\frac{1}{2}$×5×10-$\frac{1}{2}$×2×4=21；
同理，P在图2的位置时，S=45；
当P的位置如图3时，S=$\frac{55}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及等腰三角形的讨论求解，正确求得P的坐标是关键．