Question

如图，矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D落在点B处，点E、F分别是边AD、BC与MN的交点，Q是MM与对角线BD的交点，P是对角线BD上任意一点，PH⊥BE于H，PG⊥AD于G．
（1）不添加辅助线，找出图中的全等三角形；（至少找出两组，不要求证明）
（2）请你猜想PH、PG、AB它们之间有什么关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析：找出题中的折叠规律，折叠后的图形与原图形是轴对称图形，其角边均相等，据此可解答第一题．因为折叠中B与D重合，而MN为折线所以DE与BE相等，三角形BDE的面积×2等于（PH+PG）×DE等于AB×DE所以可猜想BA=PH+PG．

解答：解：（1）△ABD≌△CDB、△BEQ≌△DEQ
△BEQ≌△BFQ、△DEQ≌△BFQ
说明：找出一组得（2分）．

（2）PH+PG=AB；
解法1：连接PE
由（1）可知，△BEQ≌△DEQ，∴BE=DE
∵S_△BDE=S_△BEP+S_△DEP
又∵AB⊥DE，PH⊥BE，PG⊥DE
∴

1

2

DE•AB=

1

2

BE•PH+

1

2

DE•PG
∴PH+PG=AB．

解法2：延长GP交BC于点I，则GI=AB，
∵四边形ABCD是矩形，PG⊥AD
∴AD∥BC
即

1

2

DE•AB=

1

2

DE•PH+

1

2

DE•PG
∴∠PBI=∠PDG，∠DGP=∠PIB=90°
由（1）知：△BEQ≌△DEQ
∴∠EBP=∠PDE，
∴∠HBP=∠PBI
∵PH⊥BE
∴∠PHB=∠PIB=90°
∵PB=PB
∴△PHB≌△PIB（AAS）
∴PI=PH
∴GI=GP+PI=GP+PH=AB．

点评：本题通过折叠变换考查三角形全等的有关知识，及学生的逻辑思维能力．切记折叠的图形即为轴对称图形．