Question

3．已知：△ABC是等边三角形．
（1）用直尺和圆规分别作△ABC的角平分线BE、CD，BE、CD交于点O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）过点C画射线CF⊥BC，垂足为C，CF交射线BE于点F．
（3）求证：△OCF是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）分别作∠ABC和∠ACB的平分线得到BE和CD；
（2）过C点作CF⊥BC于C交直线BE于F；
（3）先利用等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，再根据角平分线定义得到∠CBE=∠BCD=30°，则根据三角形外角性质可计算出∠FOC=60°，接着利用互余计算出∠F=90°-∠FBC=60°，然后根据等边三角形的判定方法可判断△OCF是等边三角形．

解答 （1）解：如图，BE、CD为作；
（2）解：如图，CF为所作；

（3）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠CBE=∠BCD=30°，
∴∠FOC=∠OBC+∠OCB=60°，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠F=90°-∠FBC=60°，
∴△OCF是等边三角形．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的判定与性质．