Question

如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM＋CD．

（1）求证：点F是CD边的中点；

（2）求证：∠MBC＝2∠ABE．

 

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由正方形得到AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，根据AF⊥BE，求出∠AEB=∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可证出点F是CD边的中点；

（2）延长AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，证△FDG≌△FCB，求出B，F，G共线，再证△ABE≌△CBF，得到∠ABE=∠CBF，根据三角形的外角性质即可求出结论．

试题解析：（1）∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，

∵AF⊥BE，∴∠AOE=90°，∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，∴∠AEB=∠BAF，

∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AEB=∠AFD，

∵∠BAD=∠D，AB=AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE=DF，

∵E为AD边上的中点，∴点F是CD边的中点；

（2）延长AD到G．使MG=MB．连接FG，FB，

∵BM=DM+CD，∴DG=DC=BC，

∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG=∠CFB，∴B，F，G共线，

∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD=CD，∴AE=CF，

∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，

∵AG∥BC，∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，

∴∠MBC=2∠ABE．

考点：1．正方形的性质；2．三角形的外角性质；3．全等三角形的判定与性质．