Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1） ，对称轴为：直线x=﹣；（2）t=或；（3）．

【解析】试题分析：（1）把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）即可得到结论；

（2）由题意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=4﹣4t，由于直线AC的解析式为： ，得到E（2t﹣4，t），①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质得到结论；②当∠FEC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；③当∠ACF=90°，根据勾股定理得到结论；

（3）求得直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论．

试题解析：解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为： ，对称轴为：直线x=﹣；

（2）存在，∵AD=2t，∴DF=AD=2t，∴OF=4﹣4t，∴D（2t﹣4，0），∵直线AC的解析式为： ，∴E（2t﹣4，t），∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论：

①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，∴ ，即，解得：t=；

②当∠FEC=90°，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴DE=AF，即t=2t，∴t=0，（舍去），③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t=，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t=或；

（3）∵B（1，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，S=（DE+OC）OD=（t+2）（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；

当D在y轴的右侧时，如图2，∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S=（DE+OC）OD=（﹣8t+10+2）（4t﹣4），即（2＜t＜）．

综上所述：