Question

已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　 　．

Answer 1

5

如图，设线段AB的中点为Q，由菱形的对称性可知，点Q与点M关于直线BD对称，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，证出MP+NP=QN=BC；如图2，连接AC，设对角线AC、BD相交于点O，求出CO、BO，根据勾股定理求出BC长，即可得出答案．
解：如图，设线段AB的中点为Q，由菱形的对称性可知，点Q与点M关于直线BD对称，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小．

∵N为CD中点，Q为AB中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CN，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
如图，连接AC，设对角线AC、BD相交于点O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=AC=3，OB=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，
即图1中QN=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：5．