Question

如图，△ABC中，，延长BA至D，使，点E、F分别是边BC、AC的中点.

（1）判断四边形DBEF的形状并证明；
（2）过点A作AG⊥BC交DF于G，求证：AG=DG．

Answer 1

(1)四边形 DBEF为等腰梯形，证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）根据题意可知四边形DBEF是四边形；再证明BE=DE，即可判定四边形DBEF的形状；
（2）由四边形DBEF是等腰梯形知∠B=∠D，而AG∥BC，所以∠D=∠DAG，即可得AG=DG.
试题解析：（1）四边形 DBEF为等腰梯形，证明如下：

如图，过 F 作FH∥BC，交AB于H，
∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，
∴AH=BH=AB，EF∥AB.
显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD
∴四边形DBEF为梯形
∵AD=AB
∴AD=AH
∵CA⊥AB
∴CA是DH的中垂线.
∴DF=FH
∵FH∥BC,EF∥AB
∴四边形HFEB是平等四边形.
∴FH=BE
∴BE=FD
故四边形 DBEF为等腰梯形
（2）∵四边形DBEF是等腰梯形
∴∠B=∠D
∵AG∥BC，∠B=∠DAG
∴∠D=∠DAG
∴AG=DG
考点: 等腰梯形的判定与性质.