Question

12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是2．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥x轴于点E，通过证△OAB≌△EDA得出OA=ED，OB=EA，再由直线的解析式为y=-3x+3可得出点A、B的坐标，从而得出OA、OB、DE、AE的长，即得出点D的坐标，根据A、B、D的坐标结合正方形的性质即可得出点C的坐标，由点D的坐标利用待定系数法即可求出双曲线的解析式，将点C的纵坐标代入到双曲线解析式中求出x的值，用点C的横坐标减去x的值即可得出a的值．

解答 解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示．

∵四边形ABCD为正方形，
∴BAD=90°，AB=AD，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠EAD=90°，
∴∠OBA=∠EAD．
在△OAB和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠EAD}\\{∠AOB=∠DEA=90°}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△EDA（AAS），
∴OA=ED，OB=EA．
令一次函数y=-3x+3中x=0，则有y=3，
即点B的坐标为（0，3）；
令一次函数y=-3x+3中y=0，则有-3x+3=0，解得：x=1，
即点A的坐标为（1，0）．
∴ED=OA=1，OE=OA+AE=OA+OB=1+3=4，
∴点D的坐标为（4，1）．
将点D（4，1）代入到双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中得：1=$\frac{k}{4}$，
解得：k=4，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{4}{x}$．
∵点A（1，0）、点B（0，3）、点D（4，1），且四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（3，4）．
令双曲线y=$\frac{4}{x}$中y=4，则4=$\frac{4}{x}$，解得：x=1，
∴当点C平移到点（1，4）时，点C在双曲线上，
∴a=3-1=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，解题的关键是求出点C的坐标和双曲线的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过全等找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．