Question

16．问题情境：
如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
探究：
请您结合图2给予证明，
归纳：
圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离．
图中有圆，直接运用：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是$\widehat{CD}$上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是$\sqrt{7}$-1．
图中无圆，构造运用：
如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．
解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA'=MD，故点A'在以AD为直径的圆上．如图8，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程）
迁移拓展，深化运用：
如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 探究：在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC，证得PA＜PC即可得到PA是点P到⊙O上的点的最短距离；
图中有圆，直接运用：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P₂，在半圆上取P₁，连接AP₁，EP₁，可见，AP₁+EP₁＞AE，即AP₂是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可；
图中无圆，构造运用：根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可；
迁移拓展，深化运用：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．

解答 解：探究：
如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO=PA+OA，OA=OC，
∴PA＜PC，
∴PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（3分）
图中有圆，直接运用：
解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P₂，在半圆上取P₁，连接AP₁，EP₁，
可见，AP₁+EP₁＞AE，
即AP₂是AP的最小值，
∵AE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，P₂E=1，
∴AP₂=$\sqrt{5}$-1．
故答案为：$\sqrt{5}$-1；
图中无圆，构造运用：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=$\frac{1}{2}$MD=$\frac{1}{2}$，
∴FM=DM×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴MC=$\sqrt{F{M}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴A′C=MC-MA′=$\sqrt{7}$-1．
故答案为：$\sqrt{7}$-1．
迁移拓展，深化运用：解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDA}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=$\frac{1}{2}$AB=1，
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值=OD-OH=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系及圆的性质，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．