Question

4．如图，抛物线y=-（x+1）（x-3）交x轴于点A、B，点D为抛物线的顶点，⊙A与y轴相切，现将该圆沿抛物线从点A平移到点D，则圆上的一条直径扫过的最大面积是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 一条直径扫过的面积是一个曲边平行四边形（一组对边是直径，另一组对过是A到D的那段抛物线），它的面积就等于两条直径为对边的平行四边形的面积，底是确定的直径为2，当高是AD时（即这条直径与线段AD垂直时）面积最大，进而求出即可．

解答 解：如图所示：过点D作DE⊥x轴于点E，
y=-（x+1）（x-3）
=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
则D（1，4），
y=0时，0=-（x+1）（x-3）
解得：x₁=-1，x₂=3，
则AO=1，则圆A的直径为2，
则AE=2，DE=4，
故AD=2$\sqrt{5}$，所以最大面积是：2×2$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了圆的综合以及二次函数综合，根据题意得出这条直径与线段AD垂直时扫过的面积最大是解题关键．