Question

16．一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象，交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）判断点（4，3）是否在一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象上，说明理由；
（2）求点A，点B的坐标；
（3）在线段OA上找一点E，将△ABE沿着直线BE折叠，A点关于直线BE的对称点C在y轴负半轴上，求点C、E的坐标与直线CE的解析式；
（4）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据点的坐标满足函数解析式，点在函数图象上，点的坐标不满足函数解析式，点不在函数图象上；
（2）根据自变量与函数值的关系，自变量为零，可得B点坐标，函数值为零，可得A点坐标；
（3）根据勾股定理，可得AB的长，根据轴对称的性质，可得BC、CE的长，根据勾股定理，可得E点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（4）根据三角形的面积公式，可得答案．

解答 解：（1）点（4，3）在一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象上，理由如下
将（4，3）代入函数解析式，得
3=-$\frac{3}{4}$×4+6，
点（4，3）满足函数解析式，
点（4，3）在一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象上；
（2）当x=0时，y=6，即B（0，6），
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+6=0，解得x=8，即B（8，0）；
（3）设E点坐标为（a，0），AE=AO=OE=（8-a），
由勾股定理，得
AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=10，
由轴对称的性质，得
BC=AB=10，CE=AE=8-a，
由线段的和差，得
OC=BC-OB=10-6=4，即C（0，-4）
在Rt△OCE中，由勾股定理，得
OC²+OE²=AE²，即a²+4²=（8-a）²，
解得a=3，
即E（3，0），
设CE的解析式为y=kx+b，将C、E点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
CE的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-4；
（4）S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•OA=$\frac{1}{2}$×10×8=40．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了点与函数图象的关系：点的坐标满足函数解析式，点在函数图象上，点的坐标不满足函数解析式，点不在函数图象上；（2）利用了自变量与函数值的对应关系；（3）利用轴对称的性质得出BC、CE的长是解题关键，再利用勾股定理得出E点坐标，（4）利用了三角形的面积公式．