Question

4．如图，抛物线经过A（-2，0），B（-$\frac{1}{2}$，0），C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据余角的性质，可得∠AMN=∠NKM，根据相似三角形的判定与性质，可得$\frac{AN}{MN}$=$\frac{MN}{NK}$，根据解方程组，可得H点坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A（-2，0），B（-$\frac{1}{2}$，0），C（0，2）代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=5}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式是y=2x²+5x+2；

（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2，
如图1，
设D点的坐标为（t，2t²+5t+2），过D作DE⊥x轴交AC于E点，
∴E点的坐标为（t，t+2），
DE=t+2-（2t²+5t+2）=-2t²-4t，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，
S_△DAC=S_△CDE+S_△ADE=$\frac{1}{2}$DE•h+$\frac{1}{2}$DE（2-h）=$\frac{1}{2}$DE•2=DE=-2t²-4t=-2（t+1）²+2
∵-2＜t＜0，
∴当t=-1时，△DCA的面积最大，此时D点的坐标为（-1，-1）；

（3）存在点H满足∠AMH=90°，
由（1）知M点的坐标为（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{9}{8}$）
如图2：作MH⊥AM交x轴于点K（x，0），作MN⊥x轴于点N，
∵∠AMN+∠KMN=90°，∠NKM+∠KMN=90°，
∴∠AMN=∠NKM．
∵∠ANM=∠MNK，
∴△AMN∽△MKN，
∴$\frac{AN}{MN}$=$\frac{MN}{NK}$，
∴MN²=AN•NK，
∴（$\frac{9}{8}$）²=（2-$\frac{5}{4}$）（x+$\frac{5}{4}$），
解得x=$\frac{7}{16}$
∴K点坐标为（$\frac{7}{16}$，0）
直线MK的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{24}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x-\frac{7}{24}①}\\{y=2{x}^{2}+5x+2②}\end{array}\right.$，
把①代入②，化简得48x²+104x+55=0．
△=104²-4×48×55=64×4=256＞0，
∴x₁=-$\frac{5}{4}$，x₂=-$\frac{11}{12}$，将x₂=-$\frac{11}{12}$代入y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{24}$，
解得y=-$\frac{65}{72}$
∴直线MN与抛物线有两个交点M、H，
∴抛物线上存在点H，满足∠AMH=90°，
此时点H的坐标为（-$\frac{11}{12}$，-$\frac{65}{72}$）．

点评 本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用图形割补法求面积是解题关键，（3）利用相似三角形的判定与性质得出$\frac{AN}{MN}$=$\frac{MN}{NK}$是解题关键，解方程组是此题的难点．