Question

如图所示，直线l：y=ax+b与反比例函数y=

a+3

x

在第一象限的图象相切，设直线l与x轴，y轴交点分别是A、B，O为直角坐标系的原点，求△OAB面积S的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：先求得A、B坐标，表示出OA和OB，表示出△AOB的面积，再根据相切，找到a、b之间的关系，根据反比例函数图象在第一、三象限可得到a的范围，从而可确定出S的取值范围．

解答：解：在y=ax+b中，令x=0得y=b，令y=0得x=-

b

a

，
∴OA=b，OB=-

b

a

，
∴S=

1

2

OA•OB=

1

2

×b×（-

b

a

）=-

b2

2a

，
联立直线和反比例函数的解析式，消去y可得：ax²+bx-（a+3）=0，
其判别式为△=b²+4a（a+3），
当直线与反比例函数在第一象限相切时，则有△=0，即b²+4a（a+3）=0，可得b²=-4a（a+3），
∴S=2（a+3），
∵反比例函数y=

a+3

x

在第一、三象限，
∴a+3＞0，
∴S＞0．

点评：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数交点坐标是联立两函数解析式得到的方程组的解是解题的关键．