Question

在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足．O为△ABC的外心．
求证：（1）△AEF∽△ABC；（2）AO⊥EF．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥BC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴Rt△ADB∽Rt△AFD，Rt△ADC∽Rt△AED，
∴，即：AD²=AB•AF，
=，即：AD²=AE•AC，
∴AB•AF=AE•AC，
即：，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC；

（2）证明：连接AO并延长到⊙O上一点M，连接BM，
∵AM是圆的直径，
∴∠ABM=∠M+∠BAM=90°，
又∵∠C+∠CAD=90°，∠C=∠M，
∴∠BAM=∠CAD，
∵△AEF∽△ABC，
∴∠C=∠AFE，
∴∠AFE+∠BAM=90°，
即：AO⊥EF．
分析：（1）利用直角三角形相似，得出有关比例式，再利用两边对应成比例，且夹角相等，可以证明．
（2）利用圆周及定理以及（1）中结论，要证垂直，应证另两角互余．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及圆周角定理，综合性较强，有利于同学们综合能力的提高．