Question

已知抛物线：y1=-

1

2

x2+2x将抛物线y₁向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y₂，
（1）求抛物线y₂的解析式．
（2）如图，抛物线y₂的顶点为P，x轴上有一动点M，在y₁、y₂这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用二次函数平移的规律解答即可；
（2）假设符合条件的N点存在，利用平行四边形的性质和三角形全等，找出点N到x轴的距离，即抛物线的纵坐标，代入解析式，解方程解决问题．

解答：解：（1）依题意把抛物线：y1=-

1

2

x2+2x=-

1

2

（x-2）²+2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y₂=-

1

2

(x-4)2+3，
整理得y₂=-

1

2

x2+4x-5；

（2）符合条件的N点存在．
如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B
∴∠PAO=∠MBN=90°，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵点P的坐标为（4，3），
∴NB=PA=3，
∵点N在抛物线y₁、y₂上，且P点为y₁、y₂的最高点
∴符合条件的N点只能在x轴下方，
①点N在抛物线y₁上，则有：-

1

2

x2+2x=-3
解得：x=2-

10

x=2+

10

②点N在抛物线y₂上，则有：-

1

2

(x-4)2+3=-3
解得：x=4-2

3

或x=4+2

3

∴符合条件的N点有四个：

N1(2- 10 ，-3)；N2(4-2 3 ，-3)； N3(2+ 10 ，-3)；N4(4+2 3 ，-3)

．

点评：此题考查利用平移的规律求二次函数顶点式解析式，利用平行四边形的性质、三角形的全等与性质以及二次函数图象上点的坐标特征解决问题．