【题目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点。
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系并说明理由;
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论。
【答案】
(1) 解:∵∠BAC=90°,O为BC的中点,
∴BO=CO=AO=BC,
(2)解:△OMN是等腰直角三角形.理由如下:
连接OA,如图,
∵AC=AB,∠BAC=90°,
∴OA=OB=OC,OA平分∠BAC,∠B=45°,
∴∠NAO=∠B=45°,
在△NAO和△MBO 中,
AN=BM ,∠NAO=∠B ,AO=BO ,
∴△NAO≌ △MBO,
∴ON=OM,∠AON=∠BOM,
∵AC=AB,O是BC的中点,
∴AO⊥BC,
即∠BOM+∠AOM=90°,
∴∠AON+∠AOM=90°,
即∠NOM=90°,
∴△OMN是等腰直角三角形.
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得出答案.
(2)△OMN是等腰直角三角形.理由如下:连接OA,由等腰直角三角形性质得出OA=OB=OC,AO⊥BC,OA平分∠BAC,∠NAO=∠B=45°,再由SAS得到△NAO≌ △MBO,由全等三角形的性质得出ON=OM,∠AON=∠BOM,再根据垂直的定义得出∠BOM+∠AOM=90°,由等量代换得∠NOM=90°,从而得证.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识,掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°,以及对直角三角形斜边上的中线的理解,了解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
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【题目】如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2m,台阶AC的坡度为1: ,且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).
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【题目】已知:如图,△ABC和△DBE均为等腰直角三角形.
(1)求证:AD=CE;
(2)猜想:AD和CE是否垂直?若垂直,请说明理由;若不垂直,则只要写出结论,不用写理由.
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【题目】已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B,C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP(如图①)经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ(如图②),当点C′恰好落在OA上时,点P的坐标是_____.
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【题目】一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黑球有1个,绿球有3个,第一次任意摸出一个球(不放回),第二次再摸出一个球,则两次摸到的都是红球的概率为_____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以边上AC上一点O为圆心,OA为半径作⊙O,⊙O恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若AB=,E是半圆
上一动点,连接AE,AD,DE.
填空:
①当的长度是 时,四边形ABDE是菱形;
②当的长度是 时,△ADE是直角三角.
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【题目】已知等边△ABC中,点D为射线BA上一点,作DE=DC,交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F,过点A作AH⊥CD于H,当EDC=30 ,CF=
,则DH= .
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