Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC的中点，以AB、BD为邻边作ABDE，连结AD、EC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？（直接写出满足的条件即可）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，点D为边BC的中点，

∴BD=DC，∠ADC=90°，

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BD且AE=BD，

∴AE∥DC且AE=DC，

∴四边形ADCE是平行四边形，

又∠ADC=90°，

∴四边形ADCE是矩形；

（2）解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形；

理由是：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ACD=45°，

∵∠ADC=90°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴AD=CD，

∴矩形ADCE是正方形．

【解析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质证明∠ADC=90°，再根据有一组对边平行且相等证明四边形ADCE是平行四边形，所以四边形ADCE是矩形；（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
【考点精析】掌握等腰三角形的性质和平行四边形的性质是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．