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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+cx轴交于AB两点,B点坐标为(30),与y轴交于点C0﹣3

1)求抛物线的解析式;

2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.

3)直线l经过AC两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线lmx轴围成的三角形和直线lmy轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.

【答案】(1;(2P点坐标为()时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;(3)存在,

【解析】试题分析:(1)由BC两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;

2)连接BC,则△ABC的面积是不变的,过PPM∥y轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时△PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;

3)设直线my轴交于点N,交直线l于点G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以当△AGB△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB=90°,则可证得△AOC≌△NOB,可求得ON的长,可求出N点坐标,利用BN两的点坐标可求得直线m的解析式.

试题解析:

1)把BC两点坐标代入抛物线解析式可得: ,解得: 抛物线解析式为

2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H

中,令y=0可得,解得x=﹣1x=3A点坐标为(﹣10),AB=3﹣﹣1=4,且OC=3SABC=ABOC=×4×3=6B30),C0﹣3),直线BC解析式为y=x﹣3,设P点坐标为(x),则M点坐标为(xx﹣3),P点在第四限,PM==SPBC=PMOH+PMHB=MOH+HB=PMOB=PMPM有最大值时,PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,PM==x=时,PMmax=,则SPBC==,此时P点坐标为(),S四边形ABPC=SABC+SPBC=6+=,即当P点坐标为()时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为

3)如图2,设直线my轴于点N,交直线l于点G,则AGP=GNC+GCN,当AGBNGC相似时,必有AGB=CGB,又AGB+CGB=180°∴∠AGB=CGB=90°∴∠ACO=OBN,在RtAONRtNOB中,∵∠AOC=NOBOC=OBACO=NBORtAONRtNOBASA),ON=OA=1N点坐标为(0﹣1),设直线m解析式为y=kx+d,把BN两点坐标代入可得,解得:直线m解析式为,即存在满足条件的直线m,其解析式为

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