【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)P点坐标为(, )时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;(3)存在, .
【解析】试题分析:(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)连接BC,则△ABC的面积是不变的,过P作PM∥y轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时△PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;
(3)设直线m与y轴交于点N,交直线l于点G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB=90°,则可证得△AOC≌△NOB,可求得ON的长,可求出N点坐标,利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式.
试题解析:
(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得: ,解得: ,∴抛物线解析式为;
(2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,
在中,令y=0可得,解得x=﹣1或x=3,∴A点坐标为(﹣1,0),∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,∴S△ABC=ABOC=×4×3=6,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直线BC解析式为y=x﹣3,设P点坐标为(x,),则M点坐标为(x,x﹣3),∵P点在第四限,∴PM==,∴S△PBC=PMOH+PMHB=M(OH+HB)=PMOB=PM,∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,∵PM==,∴当x=时,PMmax=,则S△PBC==,此时P点坐标为(, ),S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=,即当P点坐标为(, )时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;
(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,则∠AGP=∠GNC+∠GCN,当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,又∠AGB+∠CGB=180°,∴∠AGB=∠CGB=90°,∴∠ACO=∠OBN,在Rt△AON和Rt△NOB中,∵∠AOC=∠NOB,OC=OB,∠ACO=∠NBO,∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),∴ON=OA=1,∴N点坐标为(0,﹣1),设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得,解得:,∴直线m解析式为,即存在满足条件的直线m,其解析式为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合),点F在BC边上(不与点B,C重合).
第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G;
第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H;依次操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为 ,
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.
①请判断四边形EFGH的形状为 ,此时AE与BF的数量关系是 ;
②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)若BD=EF,连接DE、BF,判断四边形EBFD的形状,并说明理由.
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