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【题目】如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上不与点A,B重合,点F在BC边上不与点B,C重合

第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G;

第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H;依次操作下去

1图2中的EFD是经过两次操作后得到的,其形状为

2若经过三次操作可得到四边形EFGH.

请判断四边形EFGH的形状为 ,此时AE与BF的数量关系是

中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。

【答案】1等边三角形;2正方形;AE=BF; =2x-22+8,8≤y<16.

【解析】

试题分析:1由旋转性质,易得EFD是等边三角形;利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长;

2四边形EFGH的四边长都相等,所以是正方形;利用三角形全等证明AE=BF;

求面积y的表达式,这是一个二次函数,利用二次函数性质求出最值及y的取值范围.

试题解析:1如题图2,由旋转性质可知EF=DF=DE,则DEF为等边三角形.

在RtADE与RtCDF中,

RtADERtCDFHL

AE=CF.

设AE=CF=x,则BE=BF=4-x

∴△BEF为等腰直角三角形.

EF=BF=4-x

DE=DF=EF=4-x

在RtADE中,由勾股定理得:AE2+AD2=DE2,即:x+42=[4-x]2

解得:x1=8-4,x2=8+4舍去

EF=4-x=4-4

DEF的形状为等边三角形,EF的长为4-4

2四边形EFGH的形状为正方形,此时AE=BF.理由如下:

依题意画出图形,如答图1所示:

由旋转性质可知,EF=FG=GH=HE,四边形EFGH的形状为正方形.

∵∠1+2=90°2+3=90°

∴∠1=3.

∵∠3+4=90°2+3=90°

∴∠2=4.

AEH与BFE中,

∴△AEH≌△BFEASA

AE=BF.

利用中结论,易证AEH、BFE、CGF、DHG均为全等三角形,

BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.

y=S正方形ABCD-4SAEH=4×4-4×x4-x=2x2-8x+16.

y=2x2-8x+160<x<4

y=2x2-8x+16=2x-22+8,

当x=2时,y取得最小值8;当x=0时,y=16,

y的取值范围为:8≤y<16.

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