Question

如图，已知⊙O中，弦CA=CB，BE为直径，过C作AE的垂线，重足为D
（1）求证：EC平分∠DEB；
（2）求证：CD与⊙O相切；
（3）求证：BE=AE+2DE；
（4）若CD=3，DE=1．求⊙O半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）作CM⊥AC，交AD的延长线于M，连接EC，利用△BCE≌△ACM得出∠M=∠CEB，CM=CE，可得出∠CED=∠CEB，即EC平分∠DEB．
（2）连接OC，易得△BCE∽△CDE，可得出∠DCO=90°，OC⊥CD，即CD与⊙O相切，
（3）由△BCE≌△ACM，可得出BE=AM=AE+EM=AE+DE+DM，由等腰△CEM可得出DE=DM，即可得到BE=AE+2DE，
（4）在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE²=DE²+CD²，可得出CE=

10

，由△BCE∽△CDE，利用

DE

CE

=

CE

BE

，可得出BE=

CE2

DE

=10，即可得出⊙O半径R=5．

解答：证明：（1）如图1，作CM⊥AC，交AD的延长线于M，连接EC，

∵BE是直径，
∴∠BCE=∠ACM=90°，
∵∠MAC=∠EAC=∠EBC，CA=CB，
在BCE和△ACM中，

∠BCE=∠ACM CB=CA ∠EBC=∠MAC

∴△BCE≌△ACM（ASA）
∴∠M=∠CEB，CM=CE
∴∠M=∠CED
∴∠CED=∠CEB，即EC平分∠DEB
（2）如图2，连接OC，

∵∠CEB=∠CED，∠CDE=∠BCE=90°，
∴△BCE∽△CDE，
∴∠DCE=∠CBE，
∵OB=OC，
∴∠CBE=∠OCB=∠DCE，
∵∠ECO+∠OCB=∠BCE=90°，
∴∠ECO+∠DCE=90°，
∴∠DCO=90°，即OC⊥CD，
∴CD与⊙O相切，
（3）∵△BCE≌△ACM（ASA）
∴BE=AM=AE+EM=AE+DE+DM
∵CM=CE，CD⊥AM，
∴CD是等腰△CEM的高、中线，
∴DE=DM，
∴BE=AE+2DE，
（4）∵在Rt△CDE中：CE²=DE²+CD²=1²+3²=10，
∴CE=

10

，
∵△BCE∽△CDE，
∴

DE

CE

=

CE

BE

，
∴BE=

CE2

DE

=

10

1

=10
∴⊙O半径R=

10

2

=5．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用全等三角形及相似三角形求解．