Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，

（1）求证AB是圆的直径；

（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；

（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，根据圆周角定理的推论证明；
（2）连接OE，根据扇形面积公式计算即可．

（3）AB是直径，根据直径所对的圆周角是直角得到∠BEA=90°，∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90° ，根据同角的余角相等得到∠EBC=∠CAD，即可得到∠A与∠CBE的关系.

（1）连结AD，

∵D是弧BE中点,

∴∠BAD=∠CAD-

又∵AB=AC,

∴AD⊥BD

∴∠ADB=90°,

∴AB是直径.

(2)连结OE，S扇形AOE= ,

S△BOE=，

S阴影=+

（3）由（1）AB是直径，

∴∠BEA=90°

∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90° ，

∴∠EBC=∠CAD

∴∠CAB=2∠EBC