Question

如图，已知AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；
（2）若AB=2，PA=

2

，求BC的长．（结果保留根号）

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠CBA．
则△ABC∽△POA．

（2）∵AB是⊙O的直径，且AB=2，
∴OA=1．
∵在Rt△OAP中，PA=

2

，
∴OP=

PA2+OA2

=

3

．
∵由（1）可知△ABC∽△POA，
∴

BC

OA

=

AB

OP

．
则BC=

AB•OA

OP

=

2×1

3

．
∴求得BC=

2

3

3

．