Question

（2012•泰顺县模拟）正△ABC的边长为1，点P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB．其中P、Q、R、S为垂足，若SP=

1

5

，则AP的长是

7

45

或

23

45

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，如图1，设AS=x，由于△ABC是等边三角形故可得出∠ARS=30°，故AR=2x，RC=1-2x，在Rt△QCR中，QC=2RC=2-4x，故BQ=4x-1，在Rt△BPQ中，BP=2BQ=8x-2，由于AB=1，故AS+PS+BP=1，故可得出x的值，进而得出结论；同理，如图2，当点P在x轴的上方时，同上即可得出AP的长．

解答：解：如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
设AS=x，
在Rt△ASR中，
∵RS⊥AB，
∴∠ASR=90°，
∴∠ARS=30°，
∴AR=2AS=2x，
∴RC=1-AR=1-2x，
在Rt△QCR中，
∵QC=2RC=2-4x，
∴BQ=4x-1，
在Rt△BPQ中，BP=2BQ=8x-2，
∵AB=1，
∴AS+PS+BP=1，即x+

1

5

+8x-2=1，解得x=

14

45

，
∴AP=AS+PS=

14

45

+

1

5

=

23

45

；
如图2，当点P在点S的上方时，
同上可得，AS+BP-PS=1，即x+8x-2-

1

5

=1，解得x=

16

45

，
∴AP=AS-PS=

16

45

-

1

5

=

7

45

．
故答案为：

7

45

或

23

45

．

点评：本题考查的是等边三角形的性质，含30度角的之间三角形，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，根据题意得出BP=2BQ、CQ=2CR、AR=2AS是解此题的关键．