Question

4．如图，在等边三角形ABC中，BC=180，E，F分别是AB，AC的中点，点P从点B出发，沿折线段BE-EF以每秒6个单位长的速度向点F匀速运动，点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当点P与点F重合时点P停止运动，点Q也随之停止，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在线段BE上（除点B外）运动时，过点P作PN∥BC交FC于点N，作PM⊥BC，垂足为M，连接NQ，所得四边形PMQN是平行四边形吗？请证明你的结论．
你的结论：四边形PMQN是平行四边形；
证明：
（2）当点P在线段EF上运动时，是否存在PQ=FC？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得：PB=6t，CQ=3t，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，由于PN∥BC，于是得到PB=NC，根据PM⊥BC，得到∠PMQ=90°，求出BM=$\frac{1}{2}$PB=3t=CQ，推出△PBM≌△NCQ，得到PM=NQ，∠NQC=∠PMB=90°，于是证得四边形PMQN是矩形；
（2）当点P在AD上（即15≤t≤30）时，存在PQ=DC．有下列两种情况：①当PQ∥FC时，由于PF∥QC，所以四边形PQCF是平行四边形，根据四边形的对边相等即可得出t的值；②当PQ∥AB时，由EP∥BQ，可知四边形EBQP是平行四边形，根据四边形的对边相等即可得出t的值

解答 解：（1）四边形PMQN是平行四边形，
由题意得：PB=6t，CQ=3t，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵PN∥BC，
∴PB=NC，
∵PM⊥BC，
∴∠PMQ=90°，
∴BM=$\frac{1}{2}$PB=3t=CQ，
在△PBM与△NQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=NC}\\{∠B=∠C}\\{BM=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PBM≌△NCQ，
∴PM=NQ，∠NQC=∠PMB=90°，
∴四边形PMQN是平行四边形，
故答案为：四边形PMQN是平行四边形；

（2）∵BC=180，E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=90，BE=CF=90，
当点P在EF上（即15≤t≤30）时，存在PQ=FC．有下列两种情况：
①如图1，当PQ∥FC时，
∵PF∥QC
∴四边形PQCF是平行四边形
∴PQ=FC，PF=QC
此时180-6t=3t
解得：t=20；
②如图2，当PQ∥EB时，
∵EP∥BQ
∴四边形EBQP是平行四边形
∴EP=BQ
即：6t-90=180-3t
解得：t=30，
综上所述，当点P在EF边上运动时，存在PQ=FC，t=20或t=30．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的理解题意画出图形是解题的关键．