Question

13．如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
（1）在BD的同侧作△A′BD，使△A′BD≌△ADB（点A与点A′不重合）（不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）作∠DBM=∠BDA，∠BDN=∠DBA，射线BM，DN交于A′，△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，如图2，连接A′C，由∠ADB+∠CBD=90°，得到∠A′BD+∠CBD=90°，证得∠A′BC=90°，根据勾股定理得到A′C=25，根据勾股定理的逆定理得到△A′DC是直角三角形，于是得到结果．

解答 解：（1）如图1所示，△A′BD即为所求；

（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，
如图1，连接A′C，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B²+BC²=A′C²，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在R_t△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D²+CD²=576+49=625，
∵A′C²=625，
∴A′D²+CD²=A′C²．
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴${S_{四边形A'BCD}}={S_{△A'BC}}+{S_{△A'CD}}=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=234$，
∵S_△A'BD=S_△ABD，
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形A'BCD}=234．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，作图-复杂作图，正确的画出图形是解题的关键．