Question

1．如图1，P为正方形ABCD边BC上的一点，BE⊥AP于E，DF⊥AP于点F．
（1）求证：AF=BE．
（2）如图2，Q为AP延长线上一点，∠FDQ=45°，延长BE交AD的延长线于M，延长BQ交DC的延长线于N，连接MN，求证：AM-CN=MN；
（3）在（2）的条件下，若正方形的边长为2，P为BC边的中点，请直接写出线段MN的长为$\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 （1）利用AAS即可证明△DFA≌△AEB，根据全等三角形的对应边相等证得；
（2）在线段AM上截取一点H，使得AH=CN，连结BH，证明△AHB≌△CNB得到BN=BH，然后证明△BHM≌△BNM证得MN=MH，据此即可证得；
（3）延长AP交DC的延长线与点G，在直角△ABP中，AP是斜边上的高，求得BE的长，然后利用相似三角形的性质求得BM的长，进而利用勾股定理求得AM的长，利用相似三角形的性质求得CG和NG的长，则CN即可求得，根据（2）即可求解．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，AD=AB，
∠DFA=∠AEB=90°，
∴∠DAF=90°-∠EAB=∠ABE
在△DFA和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠ABE}\\{∠AFD=∠AEB}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△DFA≌△AEB，
∴BE=AF；
（2）在线段AM上截取一点H，使得AH=CN，连结BH；
△AHB和△CNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠BAH=∠BCN}\\{AH=CN}\end{array}\right.$，
∴△AHB≌△CNB；
∴BN=BH，
∵∠FDQ=45°
∴DF=FQ
∵△ADF≌△ABE，
∴AE=DF，∠CBN=∠ABH，
∴AE=FQ，即AF+EF=EF+EQ，
∴AF=EQ，
∵BE=AF，
∴BE=EQ，
∵∠BEQ=90°，则∠EBQ=∠EQB=45°
即∠CBN+∠CBE=∠ABH+∠CBE=45°
∵∠ABC=90°，
∴∠HBM=∠NBM=45°
在△BHM和△BNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BN}\\{∠HBM=∠NBM}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△BHM≌△BNM，
∴MN=MH
又∵AM=AH+MH，AH=CN，
∴AM=CN+MN，
即AM-CN=MN；
（3）若正方形的边长为2，P为BC边的中点，
则AB=2，BP=1，
在直角△ABP中，AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•BP=$\frac{1}{2}$AP•BE，
∴BE=$\frac{AB•BP}{AP}$=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵直角△ABM中，AE⊥BM，
∴△ABE∽△MBA，
∴$\frac{AB}{BM}=\frac{BE}{AB}$，
∴BM=$\frac{A{B}^{2}}{BE}$=$\frac{4}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴在直角△ABM中，AM=$\sqrt{B{M}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-4}$=4，
延长AP交DC的延长线与点G．
在直角△ADF中，AD=2，AF=BE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵直角△DFQ中，∠FDQ=45°，
∴FQ=DF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴AQ=AF+FQ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵AB∥CD，且P是BC的中点，
∴PG=AP=$\sqrt{5}$，CG=AB=2，
∴AG=2$\sqrt{5}$，
∴QG=2$\sqrt{5}$-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵AB∥NG，
∴△ABQ∽△GNQ，
∴$\frac{NG}{AB}=\frac{QG}{AQ}$，即$\frac{NG}{2}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{2}{3}$，
则NG=$\frac{4}{3}$，
∴CN=CG-NG=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴MN=AM-CN=4-$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$．
故答案是：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，求得CN的长是解决本题的关键．